Konsep Peluang

Peluang dan Thermo beyes dalam matematika

1. Peluang Suatu Kejadian

1. Pengertian Percobaan, Kejadian, dan Ruang Sampel

Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Kejadian sederhana adalah kejadian beranggotakan tepat satu ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel.
Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S).

2.Peluang Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul maka peluang dari suatu kejadian A dirumuskan sebagai berikut.

Dengan :
P (A) = peluang kejadian A
n (A) = banyak anggota A
n (S) = banyak anggota ruang sampel S

3. Kisaran Nilai Peluang

Nilai peluang suatu kejadian adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1 dengan A merupakan kejadian pada percobaan tersebut.
Jika P(A) = 0 maka kejadian Atidak mungkin (mustahil) terjadi.
Jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.

4. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan. Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
Fh (A) = frekuensi harapan kejadian A
n = banyak percobaan
P (A) = peluang kejadian A

5. Komplemen suatu kejadian

A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel sedangkan Ac adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Hubungan antara kejadian A dan kejadian bukan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
P(A) = peluang kejadian A
P (Ac) = peluang bukan kejadian A

6. Peluang Kejadian Majemuk

• Peluang dua kejadian tidak saling lepas
  Misalkan A dan B masing-masing kejadian dalam ruang sampel S. Gabungan kejadian Aatau B (dinotasikan Au B) adalah himpunan semuatitik sampel yang terdapat pada kejadian Aatau B atau keduanya. Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak saling lepas maka berlaku:
  
• Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
  Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama atau An B = 0atauP(An B) = O.Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Saling Bebas
  Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A dan B tidak saling memengaryhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya kejadian A tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat)
  Jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama, tetapi terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B maka kejadian seperti ini dinamakan kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat . Jika A dan B adalah kejadian bersyarat maka berlaku:
  

Sumber : http://www.pelajaransekolahonline.com/2016/15/materi-peluang-matematika-pengertian-dan-rumus-soal-terlengkap.html

2. Teorema Bayes

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B)

or

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.
Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?
Secara sepintas, nampaknya bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi apakah benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.
Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

• B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
• B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
• A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
• A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

• P (A) = 2%
• P (A) = 98%
• P (B | A) = 97%
• P (B | A) = 9%

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

	A (2%)	A (98%)
B	Positif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194	Positif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 9% = 0,0882
B	Negatif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 3% = 0,0006	Negatif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 91% = 0,8918

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).
Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 + 0,0882) = 0,1803.
Kita dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:

P(A | B) =	P(B ∩ A)
	P(B)
=	P(B | A) × P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
=	97% × 2%
	(97% × 2%) + (9% × 98%)
=	0.0194
	0.0194 + 0.0882
=	0.0194
	0.1076
P(A | B) =	0.1803

Hasil perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa orang yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang kita bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita penyakit itu.
Mengapakah demikian?
Ketika mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah sebesar yang kita bayangkan.
Kita bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).
Jadi, 1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:

• 19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
• 1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
• 88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
• 892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar

Bisa kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit? Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.

 

PENGENALAN STATISTIKA

BAB I

1. Pengertian Statiska

      Pengertian Statistika Menurut Para Pakar, sebagai berikut :

Menurut Kendal dan Stuart, Pengertian Statistika adalah cabang dari metode ilmiah yang berhubungan dengan pengumpulan data yang dikumpulkan dengan mencacah atau mengukur sifat-sifat dari populasi.

Pengertian Statistika menurut Mood, Graybill dan Boes, Statistika adalah teknologi dari metode ilmiah. Mereka juga menambahkan bahwa statistika berhubungan dengan rancangan percobaan dan penyelidikan, dan penarikan kesimpulan statistik.

Pengertian Statistika menurut Modenhall, Statistika ialah suatu bidang sains yang berkaitan dengan ekstraksi informasi dari data numerik dan menggunakannya untuk membuat keputusan tentang populasi dari mana data tersebut diperoleh.

Asher mengomentari percobaan dan aplikasi statistika, beliau mengatakan bahwa statistika berhubungan dengan metode untuk menarik kesimpulan dari hasil percobaan atau proses.

Freund dan Walpole melihat statistika sebagai sains dalam pengambilan keputusan di dalam ketidakpastian.

Jadi pengertian statistika secara umum adalah suatu teori informasi, dengan penarikan kesimpulan sebagai
tujuannya 

Tujuan statistika yaitu untuk membuat kesimpulan mengenai suatu yang lebih luas (populasi) berdasarkan keterangan yang ada pada sebagian contoh (sampel) yang diambil dari populasi. Teori statistika adalah suatu teori informasi yang berhubungan dengan pengangkaan informasi, menentukan percobaan atau prosedur untuk pengumpulan data, dengan pengeluaran biaya yang minimal, dari sejumlah informasi tertentu dan menggunakan informasi ini untuk membuat kesimpulan-kesimpulan. Pembuatan kesimpulan terhadap populasi yang tidak diketahui ialah prosedur yang terdiri atas dua langkah. Langkah pertama yaitu kita menentukan prosedur-prosedur penarikan kesimpulan yang cocok dari situasi yang dihadapi dan langkah kedua yaitu kita mencari ukuran kecocokan dari kesimpulan yang dihasilkan.

Jadi data atau inforrmasi merupakan bagian yang sangat penting dalam menggunakan statistik sebagai alat untuk mengambil keputusan. Demikian juga sebaliknya, statistika adalah salah satu alat yang dapat dipergunakan untuk memanfaatkan data (informasi) sebagai bahan pengambilan keputusan. Selain karena menggunakan informasi atau data sebagai landasan pengambilan keputusan, pengambilan keputusan dengan statistika juga memiliki keunggulan lain yaitu statistika juga memberikan ukuran kecocokan atau ukuran kesalahan dari kesimpulan yang dibuat.

Sumber : http://www.pengertianpakar.com/2015/04/pengertian-statistika-menurut-pakar.html

  

• Statistik Deskriptif : merupakan proses transformasi data penelitian dalam bentuk tabulasi sehingga mudah dipahami dan diiterpretasikan. Deskriptif sifatnya menggambarkan atau mendeskripsikan suatu kondisi. Statistik deskriptif berfungsi mempelajari tata cara pengumpulan, pencatatan, penyusunan, dan penyajian data penelitian dalam bentuk tabel frekuensi atau grafik, danselanjutnya diakukan
  pengukuran nilai-nilai statistiknya seperti mean/rerata.
• Statistik Inferensial atau Statistik Induktif: ilmu pengetahuan statistik yang bertugas mempelajari tata cara penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan populasi berdasakan data hasil penelitian pada sampel (bagian dari populasi). Berdasarkan asumsi yang mendasarinya, statistik induktif/inferensial dibedakan menjadi dua, yaitu: 
  
  Statistik Parametrik. Pendugan dan uji hipotesis dari parameter populasi berdasarkan  anggapan bahwa skor-skor yang dianalisa telah ditarik dari suatu populasi dengan distribusi tertentu. Skala pengkuran yang digunakan adalah skala interval ataupn rasio, seta harus berdisribusi normal.
  
  Statistik Nonparametrik. Pendugan dan uji hipotesis dari parameter populasi berdasarkan  anggapan bahwa skor-skor yang dianalisa telah ditarik dari suatu populasi dengan bebas sebaran (tidak mengikuti distribus tertentu). Skala pengkuran yang digunakan adalah nminal dan ordinal, serta tidak harus berdistibusi normal.

 Sumber : http://www.asikbelajar.com/2016/01/statistik-deskriptif-dan-statistik.html

2. Teknik pengumpulan data

     Dalam penulisan karya ilmiah remaja, pengumpulan data berisi penjelasan cara menggunakan instrumen, apakah instrumen digunakan dengan cara observasi, eksperimen, wawancara, kuesioner atau angket. Sedangkan pada analisa data, peneliti menjelaskan cara-cara yang digunakan untuk menganalisa data.

Pengumpulan data merupakan bagian dari kegiatan penelitian yang bertujuan untuk memperoleh data-data dari sampel/objek penelitian yang telah dipilih. Pengumpulan data dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya dengan pengukuran, dengan mendeskripsikan ciri-ciri suatu objek, atau dengan cara menghitung.

Jenis sumber data bisa dibedakan menjadi dua, yaitu sumber primer dan sumber sekunder. Pengambilan data yang diperoleh langsung oleh peneliti disebut sumber primer dan datanya disebut data primer, sedangkan apabila melalui tangan kedua atau data sudah tersedia sedangkan peneliti tinggal merilis dari instansi/lembaga tertentu disebut sumber sekunder dan datanya disebut pula data sekunder.

Penelitian yang menggunakan pendekatan kualitatif, data yang dihimpun umumnya berupa kata-kata, bukan angka. Data kualitatif bisa didapat dengan bermacam-macam teknik misalnya observasi, angket, wawancara, dan sebagainya.

Teknik pengumpulan data sangat tergantung dari instrument yang digunakan. Instrumen pengumpulan data adalah alat bantu yang dipilih dan digunakan oleh peneliti dalam kegiatannya mengumpulkan data. Tujuan menggunakan instrumen adalah untuk memudahkan memperoleh data secara sistematis dan bisa dipertanggungjawabkan. Selanjutnya instrumen yang diartikan sebagai alat bantu merupakan sarana yang dapat diwujudkan dalam bentuk angket (questionnaire), daftar cocok (checklist), skala (scala), pedoman wawancara (interview guide atau interview schedule), lembar pengamatan atau panduan pengamatan (observation sheet atau observation schedule).

a. Metode Angket (Questionnaire)
Angket adalah daftar pertanyaan yang diberikan kepada orang lain yang bersedia memberikan respon sesuai dengan permintaan peneliti. Selanjutnya orang yang bersedia memberikan respon tersebut disebut responden atau sampel.
Tujuan penyebaran angket ialah mencari informasi yang lengkap mengenai suatu masalah. Dalam memberikan respon atau jawaban yang diminta oleh angket responden tanpa merasa khawatir karena kerahasiaan identitas tidak akan dipublikasikan.

b. Metode Checklist
Checklist atau daftar cek adalah suatu daftar yang berisi pernyataan dan aspek-aspek yang akan diamati. Bermacam-macam aspek perbuatan yang biasanya dicantumkan dalam daftar cek sehingga pengamat tinggal memberikan cek (v) pada tiap-tiap aspek tersebut sesuai dengan hasil pengamatannya.

c. Metode Wawancara
Wawancara adalah suatu cara pengumpulan data yang digunakan untuk memperoleh informasi langsung dari sumbernya. Cara wawancara adalah dengan jalan bertanya langsung kepada orang yang menjadi nara sumber. Wawancara merupakan proses komunikasi antara dua orang atau lebih, sehingga hasil wawancara ditentukan oleh beberapa faktor yang saling berinteraksi dan mempengaruhi pada saat proses komunikasi berlangsung. Faktor-faktor yang mempengaruhi adalah pewawancara, responden, topik penelitian yang tertuang dalam instrumen penelitian, dan situasi wawancara.

d. Metode Pengamatan (Observation)
Observasi adalah melakukan pengamatan untuk memperoleh data secara langsung ke objek penelitian sehingga dapat melihat dari dekat tentang hal-hal yang menjadi tujuan pengamatan. Objek penelitian bisa berupa aktivitas manusia, fenomena alam, proses kerja, dan lain sebagainya.

Hasil pengamatan merupakan data-data atau informasi mengenai segala sesuatu yang ada, yang terjadi, yang dapat diindera oleh panca indera. Peristiwa, kejadian, fenomena yang sedang berlangsung pada saat pengamatan dan dianggap penting dicatat sedetail mungkin.

Metode pengumpulan data dengan observasi atau pengamatan bisa dilakukan pada bidang penelitian baik ilmu-ilmu alam maupun pada penelitian sosial kemanusiaan. Tetapi pengamatan pada penelitian natura (ilmu pengetahuan alam) biasanya lebih mudah dilakukan, karena pengukurannya dapat dilakukan pada bagian-bagian tertentu dari objek dengan menggunakan alat ukur yang sudah umum dan cukup valid.

e. Metode Tes
Tes adalah salah satu cara pengumpulan data dimana responden atau objek yang diteliti diberi satu set lembar yang berisi pertanyaan-pertanyaan untuk dijawab. Tes ini biasanya digunakan untuk mengukur ketrampilan dan pengetahuan, intelligence, kemampuan bakat dan minat seseorang atau kelompok. Penelitian yang umum menggunakan metode ini biasanya berupa penelitian tindakan. Dimana dalam proses penelitiannya responden diberikan tindakan tertentu untuk mengetahui seberapa besar tindakan itu. Agar pengaruh tindakan dapat dilihat dengan jelas maka peneliti melakukan pre tes/tes sebelum tindakan dan post tes/tes sesudah tindakan.

f. Metode Dokumentasi
Dokumentasi adalah pengumpulan data dari tempat penelitian, yaitu meliputi buku-buku yang relevan, peraturan-peraturan, laporan kegiatan, foto-foto, film dokumenter, dan data-data dari penelitian terdahulu yang relevan dengan masalah atau tujuan penelitian. Metode dokumentasi biasanya sebagai penunjang metode lain untuk memperoleh data tambahan yang terkait dengan data utama. Namun tidak menutup kemungkinan penelitian dilakukan hanya dengan menggunakan metode dokumentasi saja. Hal ini tentu sangat tergantung dari tema atau permasalahan yang sedang diteliti.

 Sumber : http://www.ruswanto.com/p/teknik-pengumpulan-data.html

 3. Peubah(variable) & macam-macam Peubah(variable) 

       Peubah (Variable)

Variable adalah karakteristik subjek penelitian yang berubah dari satu subjek ke subjek lain. Misalkan tinggi badan, jenis kelamin, pendapatan perkapita, dll. (Sudigdo, 1995)

Sedangkan menurut Solimun,Variable adalah karakteristik atau sifat dari objek kajian yang diamati atau diukur atau dicacah.

Variable menurut fungsinya dibagi menjadi:

1. Variable Bebas (Independent Variable)

Adalah variabel yang bila ia berubah akan mengakibatkan perubahan variabel lain.

2. Variable Tergantung (Dependent Variable)

Adalah variabel yang ditentukan atau tergantung pada variabel lainnya.

3. Variable Penyerta (Concomitant Variable)

Adalah suatu variabel dalam penelitian yang tidak merupakan pusat perhatian akan tetapi muncul dan berpengaruh terhadap keragaman variabel tergantung dan tidak terpengaruh atau membaur (Confounding) terhadap variabel bebas. (Solimun, 1997).

Variable Perancu (Confounding Variable) Adalah jenis variabel yang berhubungan (asosiasi) dengan variabel bebas dan berhubungan dengan variabel tergantung tetapi bukan merupakan variabel antara. (Sudigdo, 1995)

4. Variable Penggangu (Intervening Variable)

Adalah suatu variabel dalam penelitian yag tidak menjadi pusat perhatian akan tetapi muncul dalam penelitian dan berpengaruh terhadap keragaman variabel tergantung dan atau berpengaruh terhadap variabel bebas.

5. Variable Kendali (Control Variable)

Merupakan variabel yang bukan merupakan pusat perhatian dalam suatu penelitian, akan tetapi berpengaruh terhadap keragaman variabel tergantung dan pengaruh tersebut dapat dikendalikan misalnya dengan cara pengelompokan. (Solimun, 1997).

Sumber : https://setiopramono.wordpress.com/2008/05/18/peubah-variable/

4. Skala pengukuran

       Skala pengukuran ada dalam beberapa jenis ini dimaksudkan untuk mengklasifikasi variabel yang akan diukur supaya tidak terjadi kesalahan dalam menentukan analisis data dan langkah penelitian.

Ada 4 jenis skala pengukuran, yaitu:

1. Skala Nominal

Skala Nominal adalah skala yang disusun menurut kategorinya atau fungsi bilangan hanya sebagai simbol untuk membedakan sebuah karakteristik dengan karakteristik lainnya. Ciri-ciri skala nominal adalah :

• Angka yang tertera hanya bentuk label/kategorisasi
• Tidak dapat dilakukan operasi matematika hitung
• Tidak memiliki nilai nol yang mutlak atau absolut
• Tidak memiliki urutan atau ranking

Contoh skala nominal diantaranya adalah suku bangsa, agama, jenis kelamin, jenis pekerjaan, dll. Data tersebut dikategorikan dalam bentuk angka, misalnya PNS diberi angka 1 dan Pegawai Swasta diberi angka 2.

 2. Skala Ordinal

Skala ordinal adalah skala yang didasarkan pada ranking diurutkan dari jenjang yang lebih tinggi sampai jenjang terendah ataupun sebaliknya.

Contoh skala ordinal adalah mengukur tingkat prestasi kerja, kepangkatan militer, mengukur prestasi kejuaraan, status sosial. Data tersebut tidak memiliki jarak yang pasti dalam pengkategorisasiannya, hanya berupa jenjang yang diurutkan.

3. Skala Interval

Skala interval adalah skala yang menunjukkan jarak anatara satu dengan yang lain dan memiliki bobot yang sama.

Contoh skala interval adalah temperatur dan suhu, skor IQ, kelompok skor ujian. Data dalam contoh skala ordinal memiliki jarak yang pasti dalam pengkategorisasiannya dan memiliki bobot atau nilai yang sama.

4. Skala Ratio

Skala ratio adalah skala pengukuran yang memiliki nilai nol mutlak dan mempunyai jarak yang sama.

Contoh skala ratio diantaranya adalah berat badan, tinggi badan, jarak, timbangan berat. Data tersebut memiliki nilai nol yang mutlak dan bisa dilakukan operasi hitung atasnya. Nol mutlak dalam artian apabila berat badan adalah nol, maka seseorang tidak memiliki berat badan. 

  

Sumber : http://www.ilmupsikologi.com/2015/09/jenis-skala-pengukuran-dan-karakteristik-serta-contoh.html

BAB II

  

1. Pembentukan tabel distribusi frekuensi

    Distribusi frekuensi Data yang telah diperoleh dari suatu penelitian yang masih berupa data acak yang dapat dibuat menjadi data yang berkelompok, yaitu data yang telah disusun ke dalam kelas-kelas tertentu. Daftar yang memuat data berkelompok disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi.

Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut :

• Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak. 
• Batas kelas (class limits) adalah nilai-nilai yang membatasi kelas yang satu dengan kelas yang lain. Batas kelas merupakan batas semu dari setiap kelas, karena di antara kelas yang satu dengan kelas yang lain masih terdapat lubang tempat angka-angka tertentu. Terdapat dua batas kelas untuk data-data yang telah diurutkan, yaitu: batas kelas bawah (lower class limits) dan batas kelas atas (upper class limits).
• Tepi kelas disebut juga batas nyata kelas, yaitu batas kelas yang tidak memiliki lubang untuk angka tertentu antara kelas yang satu dengan kelas yang lain. Terdapat dua tepi kelas yang berbeda dalam pengertiannya dari data, yaitu: tepi bawah kelas dan tepi atas kelas. 
• Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = ½ (batas atas + batas bawah) kelas. 
• Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain. 
• Panjang interval kelas atau luas kelas adalah jarak antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas. 
• Frekuensi kelas adalah banyaknya data yang termasuk ke dalam kelas tertentu dari data acak.

Jenis Jenis Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga jenis :

1. Distribusi frekuensi biasa 

Distribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.

2. Distribusi frekuensi relatif 

Distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari pengamatan atau observasi.

3. Distribusi frekuensi kumulatif 

Distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.

Sumber : http://www.kajianpustaka.com/2014/03/distribusi-frekuensi.html

2. Tabel distribusi frekuensi 

Penyusunan Distribusi Frekuensi

Penyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan data. Pertama melakukan pengurutan data-data terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai yang ada pada data, selanjutnya diakukan tahapan berikut ini .

1. Menentukan jangkauan (range) dari data. Jangkauan = data terbesar – data terkecil. 
2. Menentukan banyaknya kelas (k). Banyaknya kelas ditentukan dengan rumus sturgess K = 1 + 3.3 log n; k (Keterangan: k = banyaknya kelas, n = banyaknya data)
3. Menentukan panjang interval kelas. Panjang interval kelas (i) = Jumlah Kelas (k)/ Jangkauan (R) 
4. Menentukan batas bawah kelas pertama. Tepi bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data data terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya. 
5. Menuliskan frekuensi kelas didalam kolom turus atau tally (sistem turus) sesuai banyaknya data. 

 Sumber : http://www.kajianpustaka.com/2014/03/distribusi-frekuensi.html

 BAB III

1. Ukuran Pemusatan

      Ukuran pemusatan data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara mpenyusunan data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan mengenai suatu keseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi. Yang termasuk dalam ukuran pemusatan data adalah rataan (Mean), Median, Modus . Untuk memudahkan anda dalam memahami materi ini, dibawah ini akan kita uraikan penjelasannya. 

Rataan (Mean)

Mean atau rata-rata hitung adalah nilai yang diperoleh dari jumlah sekelompok data dibagi dengan banyaknya data. Rata-rata disimbolkan dengan x.

• Rata-Rata untuk Data Tunggal

Keterangan:
ẋ = mean
n = banyaknya data
x_i= nilai data ke-i

Contoh Rataan Data tunggal

Nilai ulangan matematika 15 siswa kelas XIIPAadalah 7,8,6,4,10, 5,9,7, 3,8, 6, 5, 8, 9, dan 7. Tentukan nilai rata-ratanya.

Jawab:

Jadi, nilai rata-ratanya adlah 6,8

---

• Rata-Rata untuk Data Bergolong (Berkelompok)

Keterangan:
x_i = nilai tengah data ke-i
f_i = frekuesni data ke -i
x_s = rataan sementara (dipilih pada interval dengan frekuensi terbesar)
d_i = simpangan ke-i (selisih nilai x_i dengan nilai x_s)

Contoh Rataan Data berkelompok

Tentukan rata-rata dari data berikut.

Nilai	Frekuensi
11 - 15	4
16 - 20	5
21 - 25	8
26 - 30	8
31 - 35	4
36 - 40	2

Jawab:

Cara I:

Nilai	Xi	F i	FiXi
11 - 15	13	4	52
16 - 20	18	5	90
21 - 25	23	8	161
26 - 30	28	8	224
31 - 35	33	4	132
36 - 40	38	2	76
Jumlah		30	735

Penyelesaian:

Cara II:

Nilai	F i	Xi	di	fidi
11 - 15	4	13	-15	-60
16 - 20	5	18	-10	-50
21 - 25	8	23	-5	-35
26 - 30	8	28	0	0
31 - 35	4	33	5	20
36 - 40	2	38	10	20
Jumlah	30			-105

Penyelesaian:

---

Median

Median adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar. Median (nilai tengah) disimbolkan dengan Me.

• Median untuk Data Tunggal

1. Jika banyaknya data n ganjil maka median

 

2. Jika banyaknya n genap maka

Contoh Median Data Tunggal

Tentukan median dari data berikut.

1. 8,6,4,3,7,5,8,10,8,9,8,5
2. 
   

Nilai	3,4,5,6,7,8,9
Frekuensi	2,5,7,8,10,5,4

Jawab:

1. Data diurutkan : 3 4 5 5 6 7 8 8 8 8 9 10
   N= 12 (genap)
   Jadi, mediannya adlah 7,5

2. n = 41 (ganjil)
   

---

• Median untuk data bergolong

Keterangan:

Me = median
Tb = tepi bawah kelas median
p = panjang kelas
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
f = frekuensi kelas median

Contoh Median Data Bergolong

Tentukan median dari data berikut.

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena banyaknya data adlah 36 maka median terletak diantara data ke-18 dan data ke-19 sehingga diperoleh kelas yang mengandung median adalah 4-40. Dengan demikian , Tb = 41-0,5 = 40,5; p=10 (11-20); f =7; F= 16.

Data	F	fk
11-20	5	5
21-30	3	8
31-40	8	16
41-50	7	23
51-60	4	27
61-70	9	36

Penyelesaian:

Jadi, mediannya adlah 43,36

---

Modus

Modus adalah data yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambnagnkan dengan Mo.

• Modus untuk data tunggal
  Modus dari data tunggal adalah data yang paling sering muncul.

Contoh Modus Data Tunggal

Tentukan modus dari data : 7,6,5,8,3,7,9,4,6,4,8,4,10,7,5,7,dan 8.

Jawab:

Data diurutkan: 3,4,4,4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,10.
Nilai 7 muncul paling banyak, yaitu 4 kali.
Jadi, modusnya adalah 7.

---

• Modus untuk data bergolong

Keterangan :
Mo : modus
Tb : tepi bawah kelas modus
p : panjang kelas
d₁ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d₂ : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

Contoh Modus Data Bergolong

Tentukan modus dari data berikut

Data	Frekuensi
11-20	5
21-30	3
31-40	8
41-50	7
51-60	4
61-70	9
Jumlah	36

Jawab:

Karena kelas dengan frekuensi terbanyak 9 maka modus terletak diantara kelas 51-60; tb=51-0,5=50,5; p=10(11-20); d_i=9-4=5; F=16.

Penyelesaian:

Jadi, modusnya adalah 53,36

Sumber : http://www.pelajaransekolahonline.com/2016/12/ukuran-pemusatan-data-mean-median-modus-rumus-dan-contoh-soal.html

BAB IV

1. Ukuran Penyebaran

      Dalam pengukuran statistika terdpat pula Ukuran Penyebaran data. Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data menyebar dari rata-rata. Terdapat ukuran penyebaran data yang akan kita pelajari pada artikel ini, yaitu Jangkauan (range), Simpangan rata-rata, Ragam (variasi), dan Simpangan Baku. namun, sebelum anda mempelajari postingan ini, sebaiknya anda baca dulu materi sebelumnya tentang pengertian Statistika, Ukuran Pemusatan data Dan Ukuran Letak Data.

Penjelasan dan uraian lengkapnya akan dijelaskan pada penjelasan di bawah ini.

Jangkauan (Range)

Jangkauan merupakan selisih data terbesar dan data terkecil. Jangkauan sering dilambangkan dengan R.

1. Jangkauan Data

R = x_maks – x_min

Keterangan:
R = jangkauan
X_maks = data terbesar
X_min = data terkecil

Contoh Soal Jangkauan Data

Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.

Jawab :

R = x_maks – x_min
= 10-2 = 8

Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8. 

2. Jangkauan interkuartil

Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.

H = Q₃ – Q₁

Keterangan :
H = jangkauan interkuartil
Q₃ = kuartil ketiga
Q₁ = kuartil pertama

3. Simpangan kuartil ( jangkauan semi interkuartil)

Singan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama.

Sk = ½ Q₃ – Q₁

Keterangan :
Sk = simpangan kuartil
Q₃ = kuartil ketiga
Q₁ = kuartil pertama

---

Simpangan Rata- Rata

Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai mean atau rataan hitungnya. Simpangan rata-rata sering dilambangkan dengan SR.

1. Data Tunggal

Keterangan :
SR = simpangan rata-rata
Xi = data ke-i
X = rataan hitung
n = banyak data

Contoh Soal Simpangan Rata rata Data tunggal

Tentukan simpangan rata-rata dari data 4,6,8,5,4,9,5,7.

Jawab :

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,5

2. Data Bergolong (Berkelompok)

Keterangan :
SR = simpangan rata-rata
Xi = data ke-i
X = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

Contoh Soal Simpangan Rata rata Data Berkelompok

Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:

Data	f
41-45	6
46-50	3
51-55	5
56-60	8
61-65	8

Jawab:

Data	f	xi	fixi	|xi-x|	Fi|xi-x|
41-45	6	43	258	11,5	69
46-50	3	48	114	6,5	19,5
51-55	5	53	265	1,5	7,5
56-60	8	58	464	3,5	28
61-65	8	63	504	8,5	68
Jumlah	30		1.635		165

Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,5.

---

Ragam

Ragam atau variasi adlah nilai yang menunjukkan besarnya penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau variasi dilambangkan dengan s².

1. Variasi untuk data tunggal

Keterangan :
s²= variasi
x_i = data ke –i
x = rataan hitung
n = banyak data

2. Variasi untuk data bergolong (berkelompok)

Keterangan :
s²= variasi
x_i = data ke –i
x = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

---

Simpangan baku

Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar merupakan akar dari jumlah kuadrat diviasi dibagi banyaknya data. Simpangan baku sering dilambangkan dengan s.

1. Simpangan baku untuk data tunggal

Keterangan :
S = simpangan baku
x_i = data ke –i
x = rataan hitung
n = banyak data

2. Simpangan baku untuk data bergolong (berkelompok)

Keterangan :
s = simpangan baku
x_i = data ke –i
x = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

Contoh Soal Simpangan Baku

Tentukan variari dan simpangan baku dari  data : 4,6,8,7,9,8.

Data	f
41-45	6
46-50	3
51-50	5
56-60	8
61-65	8

Jawab :

Data	f	xi	fixi	(xi-x)2	fi(xi-x)2
41-45	6	43	258	132.25	93.5
46-50	3	48	144	42.25	126.75
51-50	5	53	265	2.25	11.25
56-60	8	58	464	12.25	98
61-65	8	63	504	72.25	578
Jumlah	30		1.635		676

Jadi, variasinya = 22,53 dan simpangan bakunya = 4,75.

 

Sumber:http://www.pelajaransekolahonline.com/2016/14/statistika-ukuran-penyebaran-data-rumus-dan-contoh-soal-jangkauan-simpangan-ragam.html