Konsep Peluang

Peluang dan Thermo beyes dalam matematika

1. Peluang Suatu Kejadian

1. Pengertian Percobaan, Kejadian, dan Ruang Sampel

Percobaan adalah suatu tindakan atau kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk memperoleh hasil tertentu. Kejadian sederhana adalah kejadian beranggotakan tepat satu ruang sampel. Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Titik sampel adalah setiap anggota dari ruang sampel.
Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S).

2.Peluang Suatu Kejadian

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul maka peluang dari suatu kejadian A dirumuskan sebagai berikut.

Dengan :
P (A) = peluang kejadian A
n (A) = banyak anggota A
n (S) = banyak anggota ruang sampel S

3. Kisaran Nilai Peluang

Nilai peluang suatu kejadian adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1 dengan A merupakan kejadian pada percobaan tersebut.
Jika P(A) = 0 maka kejadian Atidak mungkin (mustahil) terjadi.
Jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi.

4. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan suatu kejadian adalah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan. Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
Fh (A) = frekuensi harapan kejadian A
n = banyak percobaan
P (A) = peluang kejadian A

5. Komplemen suatu kejadian

A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel sedangkan Ac adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Hubungan antara kejadian A dan kejadian bukan dirumuskan sebagai berikut.

Dengan
P(A) = peluang kejadian A
P (Ac) = peluang bukan kejadian A

6. Peluang Kejadian Majemuk

• Peluang dua kejadian tidak saling lepas
  Misalkan A dan B masing-masing kejadian dalam ruang sampel S. Gabungan kejadian Aatau B (dinotasikan Au B) adalah himpunan semuatitik sampel yang terdapat pada kejadian Aatau B atau keduanya. Jika A dan B adalah dua kejadian yang tidak saling lepas maka berlaku:
  
• Peluang Dua Kejadian Saling Lepas
  Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika kejadian A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama atau An B = 0atauP(An B) = O.Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Saling Bebas
  Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika kejadian A dan B tidak saling memengaryhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya kejadian A tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas maka berlaku:
  
• Dua Kejadian Tidak Saling Bebas (Bersyarat)
  Jika kejadian A dan B dapat terjadi bersama-sama, tetapi terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B maka kejadian seperti ini dinamakan kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat . Jika A dan B adalah kejadian bersyarat maka berlaku:
  

Sumber : http://www.pelajaransekolahonline.com/2016/15/materi-peluang-matematika-pengertian-dan-rumus-soal-terlengkap.html

2. Teorema Bayes

Teorema Bayes, diambil dari nama Rev. Thomas Bayes, menggambarkan hubungan antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut:

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B)

or

P(A | B) =	P(B | A) P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)

Contoh aplikasi dari Teorema Bayes

Di sebuah negara, diketahui bahwa 2% dari penduduknya menderita sebuah penyakit langka. 97% dari hasil tes klinik adalah positif bahwa seseorang menderita penyakit itu. Ketika seseorang yang tidak menderita penyakit itu dites dengan tes yang sama, 9% dari hasil tes memberikan hasil positif yang salah.
Jika sembarang orang dari negara itu mengambil test dan mendapat hasil positif, berapakah peluang bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu?
Secara sepintas, nampaknya bahwa ada peluang yang besar bahwa orang itu memang benar-benar menderita penyakit langka itu. Karena kita tahu bahwa hasil test klinik yang cukup akurat (97%). Tetapi apakah benar demikian? Marilah kita lihat perhitungan matematikanya.
Marilah kita lambangkan informasi di atas sebagai berikut:

• B = Kejadian tes memberikan hasil positif.
• B = Kejadian tes memberikan hasil negatif.
• A = Kejadian seseorang menderita penyakit langka itu.
• A = Kejadian seseorang tidak menderita penyakit langkat itu.

Kita ketahui juga peluang dari kejadian-kejadian berikut:

• P (A) = 2%
• P (A) = 98%
• P (B | A) = 97%
• P (B | A) = 9%

Dengan menggunakan rumus untuk peluang bersyarat, dapat kita simpulkan peluang dari kejadian-kejadian yang mungkin terjadi dalam tabel di bawah ini:

	A (2%)	A (98%)
B	Positif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 97% = 0,0194	Positif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 9% = 0,0882
B	Negatif yang salah P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 2% × 3% = 0,0006	Negatif yang benar P (B ∩ A) = P (A) × P (B | A) = 98% × 91% = 0,8918

Misalnya seseorang menjalani tes klinik tersebut dan mendapatkan hasil positif, berapakah peluang bahwa ia benar-benar menderita penyakit langka tersebut?
Dengan kata lain, kita mencoba untuk mencari peluang dari A, dimana B atau P (A | B).
Dari tabel di atas, dapat kita lihat bahwa P (A | B) adalah peluang dari positif yang benar dibagi dengan peluang positif (benar maupun salah), yaitu 0,0194 / (0,0194 + 0,0882) = 0,1803.
Kita dapat juga mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan rumus teorema Bayes di atas:

P(A | B) =	P(B ∩ A)
	P(B)
=	P(B | A) × P(A)
	P(B | A)P(A) + P(B | A)P(A)
=	97% × 2%
	(97% × 2%) + (9% × 98%)
=	0.0194
	0.0194 + 0.0882
=	0.0194
	0.1076
P(A | B) =	0.1803

Hasil perhitungan ini sangat berbeda dengan intuisi kita di atas. Peluang bahwa orang yang mendapat hasil tes positif itu benar-benar menderita penyakit langka tidak sebesar yang kita bayangkan. Cuma ada sekitar 18% kemungkinan bahwa dia benar-benar menderita penyakit itu.
Mengapakah demikian?
Ketika mengira-ngira peluangnya, seringkali kita lupa bahwa dari seluruh populasi negara itu, hanya 2% yang benar-benar menderita penyakit langka itu. Jadi, walaupun hasil tes adalah positif, peluang bahwa seseorang menderita penyakit langka itu tidaklah sebesar yang kita bayangkan.
Kita bisa juga meninjau situasi di atas sebagai berikut. Misalnya populasi negara tersebut adalah 1000 orang. Hanya 20 orang yang menderita penyakit langka itu (2%). 19 orang dari antaranya akan mendapat hasil tes yang positif (97% hasil positif yang benar). Dari 980 orang yang tidak menderita penyakit itu, sekitar 88 orang juga akan mendapat hasil tes positif (9% hasil positif yang salah).
Jadi, 1000 orang di negara itu dapat kita kelompokkan sebagai berikut:

• 19 orang mendapat hasil tes positif yang benar
• 1 orang mendapat hasil tes negatif yang salah
• 88 orang mendapat hasil tes positif yang salah
• 892 orang mendapat hasil tes negatif yang benar

Bisa kita lihat dari informasi di atas, bahwa ada (88 + 19) = 107 orang yang akan mendapatkan hasil tes positif (tidak perduli bahwa dia benar-benar menderita penyakit langka itu atau tidak). Dari 107 orang ini, berapakah yang benar-benar menderita penyakit? Hanya 19 orang dari 107, atau sekitar 18%.